Escuela Técnica Superior de Ingenieros
en Topografía, Geodesia y Cartografía

El concepto de problema inverso no es unívoco, ya que dependiendo del campo científico o técnico en que nos encontremos significará una cosa u otra. Así, en geodesia los llamados problemas directo e inverso (o problemas principales) tienen que ver con el transporte de coordenadas en la superficie del elipsoide: mediante el problema directo se calculan las coordenadas de un punto B desde un punto A a partir del acimut geodésico en A y la distancia que los separa, mientras que si conocemos las coordenadas de A y de B el problema inverso nos proporciona la distancia entre ambos y los acimutes correspondientes. En cartografía matemática, por seguir con otro ejemplo propio de las ciencias geográficas, los problemas directo e inverso tratan sobre la transformación de coordenadas entre la superficie de referencia y el plano de la proyección.

Sin embargo, en su acepción más usada los problemas directo e inverso se refieren a las relaciones que existen entre los parámetros que describen un modelo físico y los efectos que producen esos mismos modelos, que no son más que intentos de aproximación a la realidad. Podríamos decir en pocas palabras que mientras el problema directo nos permite determinar los efectos que producen unas determinadas causas (una distribución de cargas eléctricas generará un campo eléctrico, por ejemplo), el problema inverso se encarga de intentar determinar las causas (los parámetros del modelo) que provocan determinados efectos que observamos. Un ejemplo muy ilustrativo es el campo de la gravedad. Como es bien sabido, todo cuerpo genera una atracción gravitatoria que depende de su densidad y de su geometría. Conocidas ambas, resolviendo el problema directo podremos calcular el valor de la atracción que tal cuerpo ejerce sobre cualquier punto del espacio. Para el caso opuesto, intentar determinar la densidad y la geometría de un objeto que genera una determinada atracción, necesitamos del problema inverso, aunque por regla general es mucho más difícil resolver este paso que el directo. De hecho, para el campo gravitatorio existen infinitas distribuciones de masas que generan la misma atracción en un determinado punto, quedando por tanto la resolución del problema inverso indeterminada, aunque, como veremos, podremos imponer ciertas condiciones que nos ayuden a estimar una solución.

Figura 1. En nuestra aproximación, la cuenca sedimentaria se modeliza mediante un conjunto de prismas rectangulares yuxtapuestos, cuyo grosor corresponde con el de los sedimentos (arriba). La densidad (en realidad el contraste de densidad con respecto al del basamento) puede ser fija o variable con la profundidad con una distribución arbitraria (abajo).

« … mientras que el problema directo nos permite determinar los efectos que producen unas determinadas causas […], el problema inverso se encarga de intentar determinar las causas (los parámetros del modelo) que provocan determinados efectos que observamos »

Una parte importante de la geofísica es la gravimetría, que en su aplicación a esa ciencia trata de determinar distribuciones de masas en el interior de la Tierra, ya sea a escala local, regional o global. A partir de mediciones de la gravedad, bien en la superficie de nuestro planeta, en sondeos, desde plataformas embarcadas en aviones o barcos, etc., mediante el planteamiento del problema inverso tratamos de modelizar la geología del entorno de trabajo atendiendo a su distribución de densidades y/o geometría, información que es importante en trabajos de geología estructural, prospección de hidrocarburos, hidrogeología, glaciología, etc.

« A partir de mediciones de la gravedad […] mediante el planteamiento del problema inverso tratamos de modelizar la geología del entorno de trabajo »

Dada la inherente indeterminación del problema gravimétrico inverso, como se ha indicado anteriormente, es imprescindible en este tipo de trabajos (como en cualquier otro mínimamente complejo) la confluencia de expertos en múltiples disciplinas (geólogos, geofísicos, matemáticos, topógrafos) a fin acotar en la medida de lo posible las ambigüedades. Un geólogo, por ejemplo, podrá indicar qué densidades son esperables en una determinada zona, mientras que un matemático lidiará con los métodos de cálculo a aplicar y los posibles problemas numéricos que se planteen en la inversión. El topógrafo, ayudado del geofísico, planificará de manera óptima las campañas de observación y las llevará a cabo con el máximo rigor y cuidado posibles. Finalmente, geólogos y geofísicos interpretarán los resultados obtenidos, que realimentarán el proceso en el sentido de que puede ser necesario realizar nuevas observaciones para optimizar la solución y/o realizar modificaciones en el modelo.

Figura 2. Zona de trabajo en el desierto de Atacama (Chile) con varios perfiles gravimétricos utilizados en la aplicación del software de inversión 2D

De entre todo lo indicado hasta ahora un aspecto clave es el proceso de obtención de las observaciones (la gravedad en nuestro caso particular). Por una parte, es imposible realizar observaciones en la totalidad del territorio, por lo que el conjunto de datos que manejaremos será siempre finito (en muchos problemas menor incluso que el número de parámetros a determinar del modelo). Esto obliga a planificar las campañas de observación cuidadosamente para elegir los mejores emplazamientos para su adquisición, el coste económico y de tiempo, etc. Por otra parte, toda observación lleva aparejada una incertidumbre: es imposible medir sin error (los instrumentos no son perfectos) y las condiciones de observación nunca son óptimas en la realidad, lo que introduce el llamado ruido observacional. Todo lo anterior contribuye a la ambigüedad del problema inverso, haciendo imposible proporcionar una solución exacta. Es por ello que lo que debemos considerar solución de un problema inverso no es un modelo concreto (el mejor modelo atendiendo a un determidado criterio, el de mínimos cuadrados por ejemplo, aunque puede ser otro), sino el conjunto de modelos que sean capaces de explicar las observaciones dentro del margen de incertidumbre que llevan aparejado. Dicho de otro modo, si varios modelos distintos explican las observaciones con una incertidumbre menor que el ruido a ellas atribuida, y a su vez son modelos geológicamente plausibles, todos ellos han de considerarse en principio soluciones válidas al problema.

« si varios modelos distintos explican las observaciones con una incertidumbre menor que el ruido a ellas atribuida, y a su vez son modelos geológicamente plausibles, todos ellos han de considerarse en principio soluciones válidas al problema »

Desde nuestra Escuela, y en colaboración con investigadores de la Universidad de Oviedo y el Bureau Gravimétrique International, se lleva trabajando desde hace varios años en el ámbito de los problemas inversos en general (efecto del ruido observacional en la solución [2]) y en el problema inverso de la gravimetría particularizado al entorno geológico de las cuencas sedimentarias, donde a partir de medidas de gravedad en la superficie se estima la profundidad de los sedimentos (ver figura 1). Relacionado con este último aspecto se ha desarrollado un método bidimensional (ver figura 2 y figura 3) cuyo fruto es un software de libre distribución [3, 4]), que próximamente será ampliado a entornos 3D (de lo que se han hecho ya pruebas de concepto [1], ver figura 4 y figura 5). El método de inversión gira en torno al algoritmo de optimización global Particle Swarm Optimization (PSO), no muy utilizado en geofísica pero de una gran potencia a la hora de realizar el análisis de la incertidumbre de los resultados. El citado software es el primero que se publica para el problema gravimétrico inverso en entornos de trabajo reales que utiliza el algoritmo PSO.

« …se ha desarrollado un método bidimensional cuyo fruto es un software de libre distribución, que próximamente será ampliado a entornos 3D  »

Figura 3. Inversión del perfil número 4 de los observados en el desierto de Atacama (figura 2). Entre los resultados que el software de inversión proporciona se encuentra la representación gráfica de los límites en profundidad de los modelos que explican los datos observados para un determinado nivel de incertidumbre (región de equivalencia).

Figura 4. Ejemplo de inversión 3D en la cuenca de Argelès-Gazost (Pirineo francés). La figura de la izquierda representa el contorno de la cuenca y los puntos de observación. A la derecha podemos ver un mapa con las profundidades del modelo de mejor ajuste según el criterio de los mínimos cuadrados (que no es el único que explica los datos para un cierto nivel de incertidumbre).

Figura 5. En la región de equivalencia no todos los modelos son equiprobables. El software desarrollado permite inspeccionar cada parámetro del modelo mostrando los valores más probables mediante su función de distribución acumulada (izquierda) e histograma correspondiente (derecha). En la figura se muestran estos datos para el punto más profundo en la cuenca de Argelès-Gazost.

REFERENCIAS

[1] Pallero JLG, Fernández-Martínez JL, Bonvalot S, Fudym O (2017). 3D gravity inversion and uncertainty assessment of basement relief via Particle Swarm Optimization. Journal of Applied Geophysics 139: 338-350, enlace revista

[2] Pallero JLG, Fernández-Muñiz MZ, Cernea A, Álvarez-Machancoses Ó, Pedruelo-González LM, Bonvalot S, Fernández-Martínez JL (2018). Particle Swarm Optimization and Uncertainty Assessment in Inverse Problems. Entropy 20: 96. DOI: 10.3390/e20020096, enlace revista

[3] Pallero JLG, Fernández-Martínez JL, Fernández-Muñiz Z, Bonvalot S, Gabalda S, Nalpas T (2021). GravPSO2D: A Matlab package for 2D gravity inversion in sedimentary basins using the Particle Swarm Optimization algorithm, Computers & Geosciences 146, 104653, DOI: 10.1016/j.cageo.2020.104653, enlace revista

[4] Software GravPSO2D. enlace github